"naken statistik" - den mest intressanta bok om den tråkigaste vetenskap
Böcker / / December 19, 2019
Gåta Monty Hall
"Riddle av Monty Hall" - den berömda problemet med teorin om sannolikhet att förväxla deltagarna i spelet show kallad Låt oss Gör en Deal ( «för att göra en deal"), är fortfarande populär i vissa länder, som hade premiär i USA 1963 år. (Jag kommer ihåg, varje gång jag såg denna show som barn, när du inte går till skolan på grund av sjukdom.) I inledningen till boken, har jag redan påpekat att i detta spel show kan vara intressant för statistiker. I slutet av sitt releaseparty för att nå finalen blir med Monti Hall före tre stora Door: № 1, dörren 2 och dörren № № 3. Monty Hall förklarade finalist, vilket är mycket värdefullt pris dold bakom en av dessa dörrar - till exempel en ny bil, men för de andra två - en get. Finalist var tvungen att välja en av dörrarna och få vad som låg bakom det. (Jag vet inte om det var bland deltagarna i showen åtminstone en person som vill få en get, men för enkelhetens skull kommer vi att anta att den stora majoriteten av deltagarna drömt om ny bil.)
Den initiala Sannolikheten att vinna är ganska enkelt att avgöra. Det finns tre dörrar, med två get hudar och för det tredje - bilen. När deltagarna i showen tillsammans med Monty Hall står framför dessa dörrar har han en chans på tre att välja en dörr, bakom vilken det finns en bil. Men, som nämnts ovan, låt oss göra en uppgörelse ligger Tricket, förevigade denna TV-show och sin ledning i litteraturen på teorin om sannolikhet. Efter finalisterna av showen kommer att påpeka några av de tre dörrar öppnas Monty Hall en av de två återstående dörrar, bakom vilket alltid är en get. Då Monty Hall frågar finalist, om han ville ändra sig, det vill säga att överge den tidigare valda dem stängd dörr till en annan dörren stängd.
Låt oss säga, till exempel att användaren har skrivit ett antal på dörren 1. Monty Hall öppnade sedan dörren nummer tre, bakom vilken en get. Två dörrar, dörr nummer ett och nummer 2 dörren förblir stängd som tidigare. Om ett pris som ligger bakom en dörr nummer ett, skulle finalist ha vunnit det, men om för dörr nummer två, skulle han ha förlorat. Det var i detta ögonblick Monty Hall hänvisar till spelaren med frågan om han vill förändra sitt första val (i detta fall vägrar att dörrar nummer 1 till förmån för dörrar nummer 2). Naturligtvis du kommer ihåg att båda dörrarna stängda tills. Den enda nya uppgifter som deltagaren har fått, är att barnet låg bakom en av de två dörrarna, som han inte väljer.
Har finalist bör överges till förmån för den initiala valet av Doors nummer två?
Svaret är: ja, det borde. Om han kommer att hålla sig till den ursprungliga urvalet, sannolikheten att vinna dem en värdefull pris blir ⅓; om det ändrar sig och kommer att peka på dörr nummer två kommer sannolikheten att vinna ett värdefullt pris vara ⅔. Om du inte tror mig, läs vidare.
Jag medger att ett sådant svar vid första ögonkastet långt ifrån självklart. Det verkar som, oavsett vad de andra två dörrar har valt en finalist, sannolikheten för ett värdefullt pris i båda fallen lika med ⅓. Det finns tre stängda dörrar. Först är ⅓ sannolikheten för att ett pris är dold bakom dem alla. Är har ett värde beslut finalist ändra sitt val till förmån för en annan stängd dörr?
Naturligtvis, eftersom hake är att Monty Hall vet vad som finns bakom varje dörr. Om en Finalist väljer dörr nummer ett, och det kommer verkligen vara en bil, kan Monty Hall öppna någon dörr nummer två eller nummer tre dörr, för att visa en get, gömmer sig bakom det.
Om en Finalist väljer dörr nummer ett, och bilen kommer att vara bakom dörr nummer två öppnar Monty Hall dörr nummer tre.
Om finalist kommer att indikera dörr nummer ett, och bilen kommer att vara bakom dörr nummer tre, öppnar Monty Hall dörr nummer två.
Han ändrade sig efter den ledande öppen några av dörrarna får en finalist ett urval fördel av två dörrar i stället för en. Jag kommer att försöka övertyga dig om riktigheten av denna analys på tre olika sätt.
Den första - den empiriska. Under 2008 kolumnist för tidningen The New York Times, John Tayerni skriftligt material om "fenomenet Monty Hall." Efter offentliggörandet personalen utvecklat ett interaktivt program som låter dig spela det här spelet och bestämma själv, att ändra sitt ursprungliga val eller inte. (Programmet ger även små getter och avtomobilchiki som visas från bakom dörren.) Program Den fångar dina vinster när du ändrar ditt första val, och när de lämnas till sin egen åsikt. Jag betalade en av hans döttrar för henne att spela detta spel 100 gånger, varje gång ändra det första valet. Jag betalade också hennes bror, så att han också har spelat detta spel 100 gånger, varje gång lämnar det ursprungliga beslutet. Dotter vann 72 gånger; hennes bror - 33 gånger. Ansträngningarna belönades varannan dollar.
Dessa episoder av spelet Låt oss göra en Deal visar samma mönster. Enligt Leonard Mlodinovu, författare till The drinkare s Walk, de finalister som ändrade sitt den första val av vinnaren är ungefär två gånger större risk än de som stannade kvar på sin åsikt.
Min andra förklaring till detta fenomen är baserad på intuition. Antag spelreglerna har förändrats något. Till exempel, finalist börjar med att välja en av de tre dörrar: Dörrar № 1 № Dörrar Dörrar № 2 och 3, som det ursprungligen tillhandahålls. Men sedan, innan du öppnar några av dörrarna, bakom vilken döljer en get, frågar Monty Hall: "Håller du att ge upp sin val i utbyte för att öppna de återstående två dörrar? "Så, om du väljer dörr nummer ett, du kan ändra dig till förmån för nummer 2 dörrar och dörrar nummer 3. Om den första punkten till dörr nummer tre, kan du välja dörr nummer ett och nummer två dörr. Och så vidare.
För dig, skulle det inte vara ett särskilt svårt beslut: det är uppenbart att du ska vägra den inledande val till förmån för de andra två dörrar, eftersom det ökar chanserna att vinna med ⅓ till ⅔. Det mest intressanta är att det är i huvudsak en version av Monty Hall erbjuder ett riktigt spel, efter öppna dörren, bakom vilken döljer en get. Det grundläggande faktum är att om du fick möjlighet att välja två dörrar, bakom en av dem i alla fall, skulle dölja en get. När Monty Hall öppnar dörren, bakom vilken det finns en get, och först därefter ber dig Håller du att ändra sitt ursprungliga val, ökar kraftigt dina chanser att vinna värdefull Priset! I själva verket, Monty Hall säger: "Sannolikheten att ett pris är dold bakom en av de två dörrarna, att du inte har valt första gången är ⅔, men det är fortfarande mer än ⅓!»
Detta kan representeras enligt följande. Säga att du visat dörr nummer ett. Efter det Monty Hall ger dig möjlighet att överge det ursprungliga beslutet till förmån Dörrar nummer 2 och nummer 3 dörrar. Du accepterar och har till ditt förfogande två dörrar, vilket innebär att du har all anledning att förvänta sig att vinna ett värdefullt pris med sannolikhet ⅔, snarare än ⅓. Vad skulle hända om, i det ögonblicket, öppnade Monty Hall dörren nummer tre - en av "din" dörr - och det visade sig vara en get? skulle skaka det faktum att ditt förtroende i beslutet? Naturligtvis inte. Om bilen är dold bakom dörr nummer tre, skulle Monty Hall har öppnat dörren nummer två! Han ville inte visa någonting.
När spelet är på nakatannomu scenario, Monty Hall verkligen ger dig ett val mellan dörren, du angav i början, och de två återstående dörrar, bakom en av dessa kan vara bil. När Monty Hall öppnar dörren, bakom vilken en get, bara det ger dig en tjänst genom att visa, för vilken av de två andra dörrarna har ingen bil. Du har samma sannolikhet att vinna i de båda följande scenarier.
- Välja dörr nummer 1, då samtycke "switch" på dörren till nummer två och nummer tre dörren innan båda kommer att öppna någon dörr.
- Välja dörr nummer 1, då samtycke "switch" på dörren till nummer två, efter Monty Hall visa get av dörr nummer tre (eller välj Doors nummer 3, efter Monty Hall visa en get bakom dörr nummer 2).
I båda fallen ger vägran av den ursprungliga lösningen du nytta av de två dörrarna, jämfört med en ut och du kan därmed fördubbla sina chanser att vinna: med ⅓ till ⅔.
Min tredje utföringsform representerar en mer radikal version av samma bas intuition. Antag Monty Hall erbjuder dig att välja ett av 100 dörrar (i stället för en av de tre). När du gör det, säg, pekar på dörren till nummer 47, öppnar upp de återstående 98 dörrar, bakom vilka getterna. Nu stängda dörrar är bara två: din dörr nummer 47, och en annan, till exempel dörr nummer 61. Skulle du överger ditt första val?
Naturligtvis ja! Med 99 procents sannolikhet bilen är bakom en av dörrarna, som du väljer i början. Monty Hall gav dig en tjänst genom att öppna 98 sådana dörrar, bilen inte var för dem. Således finns det bara en 1 100 chans att din ursprungliga val (dörr nummer 47) kommer att vara korrekt. Samtidigt finns det en 99 av 100 chans att ditt första val är fel. Om så är fallet, då bilen är bakom den återstående dörren, då finns det dörr nummer 61. Om du vill spela med en chans att vinna 99 gånger av 100, måste du "switch" på dörren till nummer 61.
Kort sagt, om du någonsin har att delta i Låt oss göra en Deal spel, definitivt måste ge från sitt ursprungliga beslut när Monty Hall (eller den som blir hans ersättare) kommer att ge dig möjlighet att val. Mer universell slutsats av detta exempel är att dina intuitioner om sannolikheten för förekomst av vissa händelser ibland kan vilseleda dig.
"Naked Statistics" av Charles Whelan
Köp på Litres.ru